笛卡尔看到帕斯卡的数学天赋，是因为在读过他的《论椭圆曲线》后。
笛卡尔见到帕斯卡后，开始跟他讨论自己刚刚发现的新的几何。
笛卡尔说：“我发现了多个圆在相切之间的半径的关系。”
帕斯卡说：“几个圆？”
笛卡尔说：“我现在研究的是四个。”
帕斯卡说：“如何相切，是内切还是外切，或者其他的？”
笛卡尔说：“我这里有四个的，我认为四个的情况常用。
四个圆两两在不同四个点外切，其中有个关系。”
帕斯卡正在想着形状，对笛卡尔说：“是半径的关系？”
笛卡尔说：“没错，这个四个圆的半径分别是r1，r2，r3，r4.之间的关系是，各种各倒数的和的平方等于2乘以各自平方倒数的和。”
笛卡尔画出了这四个外切的圆，并写下了这个方程。
帕斯卡验证完这个公式后，是正确的，然后说：“内切的关系呢？”
笛卡尔说：“如果r1，r2，r3内切于圆r4中，把原来左边的r4的平方分之一改成负号即可，其他不变。”
帕斯卡说：“你的意思是被内切的，那一项，只要在左边改成负号就可以了是吧。”
笛卡尔说：“没错，这就是我的发现。”
笛卡尔定理是关于平面几何中关于圆与圆相切时半径之间的数量关系。
后来笛卡尔定理在三维坐标系中也有类似的结论：若五个球的半径是ri（1，2，...，5），满足任意一个球与其他四个球外切，只需要把原来的公式从2乘以变成3乘以即可，其他依次类推不变。
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